確率がおかしい？…モンティ・ホール問題はグループ化がミソ！

モンティ・ホール問題について、以前も記事を書いているのですが、理解しずらいとのコメントをいただいており、理解しやすくするという点にポイントを絞って新たに別記事として書きました。

ちなみに、以前の記事は以下になります。

モンティ・ホール問題とは？

モンティ・ホール問題は、選び方で当選確率が変わる不思議なパズルとでも言えるようなもので、確率論の中でも直感に反するパラドックスとして有名な問題です。

これは、アメリカのテレビ番組「Let’s make a deal」で実際に行われたゲームに基づいており、ゲームのルールは以下の通りです。

司会者の前には3つのドアがあり、そのうち1つのドアの後ろには景品（例えば新車）が用意されており、残りの2つのドアの後ろにはハズレ（例えばヤギ）がランダムに隠されています。
参加者は3つのドアのうち1つを選びますが、この時点では、選んだドアに景品がある確率は当然1/3です。
司会者は、参加者が選んだドア以外の2つのドアのうち、ハズレが隠されているドアを1つ開けて見せますが、この時点では開けられたドアに景品がある確率は0です（そうでないとゲームとして成り立ちません）。
司会者は、参加者に選んだドアを変更することを許可することで、参加者は最初に選んだドアをそのままにするか、もう一方の閉じたドアに変更するかを決めることができます。

ここで問題です。

参加者は、ドアを変更すべきでしょうか？

それとも、最初に選んだドアをそのままにすべきでしょうか？

直感的には、ドアを選び直しても景品のある確率は同確率あると感じますが、実はそうではありません。

実際には、ドアを変更した方が景品を当てる確率が高くなります。

さて、どうしてでしょうか？

普通に常識的に考えると、どのドアも1/3の確率で景品が当たると感じます。

ドアが３つあり一つに景品なら、どのドアも1/3の確率に見えます。

その結果、個人的にはドアを変更してハズレると悔しいので、ドアを変えたくないと思ってしまいます。

そのように思う人は意外と多いのではないでしょうか？

でも、本当に当選確率が変わるのであれば、当然話は別です。

この問題を理解するためには、選んだドアと選んでいない2つのドアのグループ化がミソです。

最初に選んだドアに景品がある確率は1/3ですが、選んでいない2つのドアのグループに景品がある確率は2/3です。

司会者がハズレのドアを開けて見せたとき、そのグループから1つのドアが除かれただけで、グループ全体の確率は変わりません。

つまり、残った閉じたドア（参加者が選んでいなかったグループ）に景品がある確率は2/3のままです。

したがって、参加者は最初に選んだドア（確率1/3）から残った閉じたドア（グループ確率2/3）に変更すれば、景品を当てる確率を2倍にすることができます。

このようにして、モンティ・ホール問題では選んでいないドアのグループ化がミソということが分かりました。

この問題は数学的な概念を用いても厳密に証明することができるとされていますが、ここでは簡単に理解するための説明をしました。

モンティ・ホール問題は、直感と論理が食い違う面白さがありますが、実際には確率論の基本的な原理に従っています。

確率論は、日常生活や科学のさまざまな分野で応用される重要な数学の一分野です。

モンティ・ホール問題をきっかけに、確率論に興味を持ってみてはいかがでしょうか？